Trigonometrija trokuta

Prisjetimo se najprije trigonometrijskih omjera u pravokutnom trokutu koje smo radili u prvom razredu.

Trigonometrijske omjere u pravokutnom trokutu ćemo raditi uzimajući u obzir položaj stranica u odnosu na neki šiljasti kut, dakle nikad ne gledamo u odnosu na pravi kut.

Hipotenuza je najduža stranica u trokutu, nalazi se nasuprot pravom kutu.

Priležeća kateta je ona koja se nalazi uz kut, a da nije hipotenuza.

Nasuprotna kateta je stranica nasuprot kutu kojeg gledamo, ona i kut se nikako ”ne dodiruju”.

Trigonometrija_-_oznake_-_desktop_1958fd5ad49b53f9cd19b2656aafcabaca3dd63b8

Trigonometrija_-_oznake_-_mobile_169620951a33e12fab026b42298e5f67aa76eb12b

Trigonometrijski omjeri

Sinus je omjer duljina nasuprotne katete i hipotenuze. Za kut $\alpha$, oznaka je $sin\alpha$.
Kosinus je omjer duljina priležeće katete i hipotenuze. Za kut $\alpha$, oznaka je $cos\alpha$.
Tangens je omjer duljina nasuprotne i priležeće katete. Za kut $\alpha$, oznaka je $tg\alpha$.
Kotangens je omjer duljina priležeće i nasuprotne katete. Za kut $\alpha$, oznaka je $ctg\alpha$.

Trigonometrija_-_omjeri_-_desktop_2cf475c6bbfd0df3e1bd191be09ece4d5e97a0de1

Trigonometrija_-_omjeri_-_mobile_2b2ea7f5a54d2fdfbbbb3eeffc6ac649e9d0897e1

$ \sin \alpha = \frac{a}{c} $

$ \cos \alpha = \frac{b}{c} $

$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} $

$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a} $

Tablica najčešćih kuteva i vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih.

Trigonometrija_-_tablica_-_desktop_1c92f6facdbad095e95d90f5269f8c4988627e653

Trigonometrija_-_tablica_-_mobile_1d89fecef2450ccdafeeaa1a359424727621058f1

Sada ćemo spomenuti trigonometriju koja vrijedi za sve trokute, ne samo za pravokutan.

Poučak o sinusima

Poučak o sinusima možemo primijeniti u bilo kojem trokutu, ne mora nužno biti pravokutni. Koristimo ga kada kada imamo dvije stranice i kut nasuprot jedne od njih, ili dva kuta i stranicu nasuprot jednom od tih dvaju kutova. Preko poučka možemo izračunati veličinu koja nedostaje.
Također, omjer koji daje poučak je jednak $2R$, gdje je $R$ radijus opisane kružnice trokutu.

$ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma} = 2R $

Poučak o kosinusu

Poučak o kosinusu možemo primijeniti u bilo kojem trokutu, ne mora nužno biti pravokutni. Primjenjiv je na bilo koju kombinaciju stranica pa zato izgleda kao da imamo tri formule. Bitno je zapamtiti da za računanje stranice koja je sama na lijevoj strani, trebaju druge dvije stranice i kut nasuprot nje.

$ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \alpha $

$ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos \beta $

$ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \gamma $

Formule za površinu trokuta

Površina bilo kojeg trokuta može se izračunati kao polovica umnoška bilo koje dvije stranice i sinusa kuta između njih.

$ P=\frac{1}{2} a b \sin \gamma=\frac{1}{2} b c \sin \alpha=\frac{1}{2} a c \sin \beta $

Heronova formula daje površinu trokuta ako znamo duljine svih stranica trokuta. Veličinu $s$ nazivamo i poluopseg.

$ P=\sqrt{s \cdot(s-a) \cdot(s-b) \cdot(s-c)}, s=\frac{1}{2}(a+b+c) $

Postoje i formule za površinu trokuta koje koriste radijus opisane kružnice ($R$) i radijus upisane kružnice ($r$) tog trokuta.
U drugoj formuli, $s$ ponovno predstavlja poluopseg.

$ P=\frac{a b c}{4 R} $

$ P=r s $

Visine trokuta

Visine trokuta obrnuto su proporcionalne duljinama odgovarajućih stranica tj. vrijedi:

$ a:b=v_b:v_a; \quad b:c=v_c:v_b, \quad c:a=v_a:v_c $

Simetrale kutova

Poučak o simetrali kuta: Simetrala unutarnjeg kuta trokuta dijeli nasuprotnu stranicu u omjeru jednakom omjeru duljina stranica što zatvaraju taj kut.

Težišnice trokuta

Iz poučka o kosinusu, zato što težišnica dijeli stranicu na dva jednaka dijela, duljine težišnica trokuta možemo izračunati pomoću stranica trokuta na sljedeći način:

$ t_a=\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot\left(b^2+c^2\right)-a^2} $

$ t_b=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot\left(c^2+a^2\right)-b^2} $

$ t_c=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot\left(a^2+b^2\right)-c^2} $

Prošlo gradivoKvadratne nejednadžbe

Iduće gradivoKružnica i krug

ONLINE INSTRUKCIJE

Instrukcije cijeli mjesec, 5 predmeta,

13 eura!

Povezani sadržaj:

Kvadratne nejednadžbe

Kružnica i krug

Besplatna videorješenja za gradivo Trigonometrija trokuta

4. Duljine stranice trokuta $ A B C $ su $ a=12 \mathrm{~cm} $ i $ c=9 \mathrm{~cm} $, a kut između njih je $ \beta=82^{\circ} 17^{\prime} $. Kolika je duljina stranice $ b $?

4. U trokutu $ A B C $ stranica $ a $ je dvostruko dulja od stranice $ b $. Mjera kuta $ \alpha $ nasuprot stranice $ a $ je $ 74^{\circ} $. Kolika je mjera kuta $ \beta $ nasuprot stranice $ b $?

Pretplati se na naše instrukcije ili kupi paket priprema za maturu i otključaj sve videe

11. Kolika je mjera kuta $ \alpha $ sa skice?

12. U trokutu $ A B C $ sa slike omjer kutova je $ \alpha: \beta: \gamma=3: 2: 13 $. Za duljine stranica vrijedi $ a-b=3 \mathrm{~cm} $. Kolika je duljina najkraće stranice toga trokuta?

13. Kolika je mjera kuta $ \alpha $ označenoga na skici?

Koliko iznosi mjera kuta $ \beta $ u trokutu $ A B C $ ako je mjera kuta $ \gamma=24^{\circ} $ i za duljine stranica vrijedi $ c=2 b ? $ Napomena: Nasuprot stranice $ b $ nalazi se kut $ \beta $, a nasuprot stranice $ c $ kut $ \gamma $.

14. U tupokutnome trokutu $ A B C $ mjera kuta u vrhu $ B $ je $ 23^{\circ} $, a duljine stranica su $ | A B | =20 \mathrm{~cm} $ i $ |B C|=30 \mathrm{~cm} $. Kolika je duljina visine iz vrha $ B $?

14. Na skici je prikazan pravokutan trokut. Koliki je $ \operatorname{tg} \alpha $ izražen s pomoću $ x $?

14. Duljine dviju stranica trokuta su $ 3.9 \mathrm{~cm} $ i $ 5.2 \mathrm{~cm} $, a kut između njih je mjere $ 60^{\circ} 12^{\prime} $. Koliko iznosi duljina treće stranice toga trokuta?

15. Duljine su kateta pravokutnoga trokuta $ 11 \mathrm{~cm} $ i $17 \mathrm{~cm} $. Koliko iznosi mjera najmanjega kuta toga trokuta?

15. Zadan je trokut sa stranicama duljina $ 12 \mathrm{~cm} $ i $ 18 \mathrm{~cm} $ i kutom između njih mjere $ 85^{\circ} $. Kolika je duljina treće stranice?

16. U trokutu je nasuprot kutu mjere $ 72^{\circ} $ stranica duljine $ 10.3 \mathrm{~cm} $. Kolika je duljina stranice nasuprot kutu mjere $ 58^{\circ} $ u tome trokutu?

16. Duljine kateta pravokutnoga trokuta su $ 5 \mathrm{~cm} $ i $12 \mathrm{~cm} $. Koliko iznosi tangens kuta nasuprot kraćoj kateti?

17. Što od navedenoga vrijedi za duljine stranica $ x, y $ i $ z $ te kut $ \varphi $ trokuta prikazanoga na skici?

ŠTO ČEKAŠ?

Isprobaj potpuno besplatno!

Registracijom dobivaš besplatan*
pristup dijelu lekcija za svaki predmet.

*Besplatan pristup ne zahtijeva unos kartice.

ZA MATURANTEOnline pripreme OD 1. DO 4. RAZREDAOnline instrukcije